Teori Permainan Teknik Riset Operasi (TRO)

TEORI PERMAINAN

Merupakan pendekatan matematis untuk merumuskan situasi konflik antara berbagai kepentingan. Dikembangkan untuk menganalisis proses pengambilan keputusan dari situasi-situasi persaingan antara 2 pemain atau lebih.Model teori permainan ditentukan oleh :

Jumlah pemain
Jumlah keuntungan dan kerugian
Jumlah strategi

Dalam teori permainan, lawan disebut sebagai pemain (player). Setiap pemain memiliki sejumlah pilihan, yang terhingga atau tak terhingga, yang disebut strategi. Hasil (outcomes atau payoff) dari sebuah permainan diringkas sebagai fungsi dari strategi yang berbeda-beda dari setiap pemain. Sebuah permainan dengan dua pemain, dimana keuntungan satu pemain sama dengan kerugian pemain lainnya, dikenal sebagai permainan jumlah-nol-dua-orang (two-person zero-sum game). Dalam permainan seperti ini, hasil dapat dinyatakan dalam bentuk hasil untuk salah satu pemain. Sebuah matriks dipergunakan untuk meringkaskan hasil kepada pemain yang strateginya dinyatakan dalam baris-baris matriks yang bersangkutan.

Pemecahan optimal untuk permainan jumlah-nol-dua-orang kemungkinan mengharuskan setiap pemain untuk memainkan strategi murni (pure strategy) atau gabungan dari beberapa strategi murni yang disebut sebagai strategi campuran (mixed strategy).

A. STRATEGI MURNI ( PURE STRATEGY )

Pemecahan optimal dikatakan dicapai jika tidak ada satupun pemain akan memperoleh manfaat dari perubahan strateginya. Dalam kasus ini, permainan tersebut dikatakan stabil.

Kriteria pemecahan masalah yang digunakan adalah kriteria minimaks-maksimin.

Contoh Kasus :

Pertimbangkan matriks hasil diatas, yang mewakili keuntungan Pemain A. !

Perhitungan nilai minimaks dan maksimin diperlihatkan dalam matrik diatas dengan penjelasan sebagai berikut :

Pemain A memainkan strategi pertamanya, ia dapat memperoleh 8, 2, 9 atau 5, yang bergantung pada strategi yang dipilih Pemain B. Tetapi, ia pasti memperoleh keuntungan setidaknya sebesar min { 8,2,9,5 } = 2 tanpa bergantung pada strategi yang dipilih Pemain B.

Demikian pula jika Pemain A memainkan strateginya yang kedua, ia dijamin memperoleh setidaknya min { 6,5,7,18 } = 5, dan jika ia memainkan strateginya yang ketiga, ia dijamin memperoleh setidaknya min { 7,3,-4,10 } = -4. Jadi nilai minimum di setiap baris mewakili keuntungan minimum yang dijamin bagi Pemain A jika ia memainkan strategi murni. Angka-angka ini ditunjukkan dalam matriks tersebut pada ”Minimum dari baris”. Selanjutnya dengan memilih strateginya yang kedua, Pemain A memaksimumkan keuntungan minimumnya. Keuntungan ini diketahui max ( 2, 5, -4 ) = 5. Pemilihan Pemain A disebut strategi maksimin, dan keuntungannya disebut nilai maksimin (nilai bawah) dari permainan.

Sebaliknya, Pemain B ingin meminimumkan kerugiannya. Ia menyadari bahwa, jika ia memainkan strategi murni pertamanya, ia akan merugi tidak lebih dari max { 8, 6, 7 } = 8 tanpa bergantung pada pemilihan Pemain A. Argumen serupa dapat juga dibuat untuk ketiga strategi lainnya. Hasil yang bersesuaian ditunjukkan dalam matriks diatas dengan ”Maksimum dari kolom”. Jadi Pemain B akan memilih strategi yang meminimumkan kerugian maksimumnya. Strategi ini diketahui strategi kedua dan kerugian yang bersesuaian diketahui min { 8, 5, 9, 18 } = 5. Pemilihan Pemain B disebut sebagai strategi minimaks dan kerugiannya disebut sebagai nilai minimaks (nilai atas) dari permainan.

Dari kondisi yang mengatur kriteria minimaks, nilai minimaks (nilai atas) adalah lebih besar atau sama dengan nilai maksimin (nilai bawah). Dalam kasus dimana persamaan berlaku, yaitu : nilai minimaks = nilai maksimin, strategi murni yang bersangkutan disebut sebagai strategi ”optimal” dan permainan tersebut dikatakan memiliki titik sadel (saddle point). Nilai permainan ini, dengan dipilihnya strategi murni yang optimal tersebut, adalah sama dengan nilai maksimin dan minimaks tersebut.

Dalam contoh diatas, nilai maksimin = nilai minimaks = 5. Hal ini menunjukkan bahwa permainan ini memiliki titik keseimbangan yang diketahui dengan entri (2, 2) dari matriks tersebut. Karena itu nilai permainan ini adalah 5.

B. STRATEGI CAMPURAN ( MIXED STRATEGY )

Strategi campuran (mixed strategy) digunakan apabila tidak ditemukan saddle point.

Contoh kasus :

Dalam kasus diatas tidak ditemukan saddle point, maka penyelesaiannya terlebih dahululu dengan menggunakan aturan dominan, yaitu dengan cara sebagai berikut :

Suatu kolom disebut dominan / superior terhadap kolom lain, bila nilai seluruh kolom tersebut lebih kecil dari yang lain, maka kolom yang lebih besar dapat dihapus.
Suatu baris disebut dominan / superior terhadap baris lain, bila nilai seluruh baris tersebut lebih besar dari yang lain, maka baris yang lebih kecil dapat dihapus.